제3과목 부동산펀드 - 03. 부동산펀드 종류

● 부동산펀드의 종류

① 실물형 부동산펀드: 매매형/임대형/경.공매형/개량형/개발형 부동산펀드

② 대출형 부동산펀드(pf): 부동산개발과 관련된 법인에 대한 대출에 투자하는 펀드.

③ 권리형 부동산펀드: 지상권/지역권/전세권/분양권 등의 부동산관련 권리에 투자하는 펀드

④ 증권형 부동산펀드: 부동산과 관련되 증권에 투자하는 부동산펀드.

▶ 부동산과 관련된 수익증권, 집합투자증권, 유동화증권 등에 총 자산의 50%이상을 투자

⑤ 파생상품형 부동산펀드: 부동산을 기초자산으로 하는 파생상품에 투자하는 펀드.

⑥ 준부동산펀드: 자본시장법 하에서는 부동산펀드가 아닌 다른 종류의 펀드( 증권펀드, 특별자산펀드)에 해당하지만 해당펀드의 실질적인 내용 및 경제적인 효과 측면에서 볼 때 일종의 부동산펀드로 간주할 수 있는 펀드.

● 실물형 부동산펀드

① 매매형 부동산펀드: 낮은 가격에 부동산을 사서 높은 가격에 부동산을 파는 목적
② 임대형 부동산펀드: 부동산 취득 후, 임대를 통하여 수익을 얻고, 부동산을 매각하려는 목적
③ 경.공매형 부동산펀드: 경.공매에 참가하여 부동산을 낮은 가격에 취득 후, 비싸게 매각하려는 목적

▶ 경.공매에 부동산이 나온다는 말은 유동성에 한계가 있다는 것을 뜻한다. 유동성이 좋았다면, 주인이 제 값
④ 개량형 부동산펀드: 부동산을 취득한 후에 리모델링 등을 통해 다시 비싸게 매각하려는 목적
⑤ 개발형 부동산펀드: 부동산을 개발해서 팔기위한 목적

● 대출형 부동산펀드(Project Financing)
- 부동산 개발사업을 영위하는 법인 등에 대한 대출을 주된 운용방법으로 하고 시행사 등으로 부터 안정적인대출 이자를 지급 받는 것이 운용목적.

- 자금을 제공하고 확정된 이자를 받는다는 점에서 회사채에 투자하는 것과 유사한 성격이다.

▶ 부동산개발업체에 돈을 빌려줘서 대출 이자를 받는 펀드로 우리나라에서 가장 많이 운용되는 부동산펀드

● 권리형 부동산펀드

- 부동산에 관련된 물권/채권에 투자하는 펀드 (지상권, 지역권, 전세권 등에 투자)

★ 권리
① 물권: 대세적권리여서 누구에게나 주장이 가능하다.
② 채권: 특정인(의무이행자가 정해져 있다는 말)에게만 청구할 수 있는 권리

※ 채권자: 채권을 돌려 받을 권리가 있는 사람

※ 채무자: 채권을 갚을 의무가 있는 사람
③ 지상권: 토지위에 부동산을 지을 수 있는 권리
④ 지역권: 나의 편의를 위해서 타인의 토지를 이용하는 것
⑤ 전세권: 전세금을 지급하고, 남의 집을 사용한 다음에, 전세금을 되돌려 받을 권리
⑥ 임차권: 목적물을 빌려주고, 그에 따른 사용료를 받을 권리
⑦ 분양권: 아파트에 입주할 수 있는 권리.

▶ 분양권이 오른다는 것을 프리미엄이 붙는 다고 말한다. 그 때 분양권을 되팔아 이득을 창출한다. 즉, 권리를 사고 되팔면서 수익을 갖는 펀드를 권리형 부동산펀드라고 칭한다.

● 경/공매형 부동산펀드

- 경/공매 하는 부동산은 싸게 사서 비싸게 팔아서 시세차익을 노리는 펀드

▶ 경매형부동산은 유동성에 한계가 있다. 유동성이 좋다면, 주인이 그냥 비싸게 팔았지 경매로 나오진 않지!!

▶ 경매형은 일단 돈을 모은 다음에 좋은 매물이 나오면 사는 블라인드펀드이다.

※ 블라인드펀드: 사전에 특정한 부동산/주식 등을 결정하는 것이 아니라, 때가 되면 적당한 상품을 선택하는 펀드

● 실물형 부동산펀드
① 매매형 부동산펀드: 낮은 가격에 부동산을 사서 높은 가격에 부동산을 파는 목적
② 임대형 부동산펀드: 부동산 취득 후, 임대를 통하여 수익을 얻고, 부동산을 매각하려는 목적
③ 경.공매형 부동산펀드: 경.공매에 참가하여 부동산을 낮은 가격에 취득 후, 비싸게 매각하려는 목적
④ 개량형 부동산펀드: 부동산을 취득한 후에 리모델링 등을 통해 다시 비싸게 매각하려는 목적
⑤ 개발형 부동산펀드: 부동산을 개발해서 팔기위한 목적 - 리스크가 크며 그만큼 수익률도 크다.

● 대출형 부동산펀드(Project Financing)
- 부동산 개발사업을 영위하는 법인 등에 대한 대출을 주된운용방법으로 하고 시행사 등으로 부터 안정적인 대출 이자를 지급 받는 것이 운용목적

▶ 우리나라 대부분의 부동산펀드가 대출형 부동산펀드이다.
▶ 자금을 제공하고 확정된 이자를 받는다는 점에서 회사채에 투자하는 것과 유사한 성격이다.

10. 포트폴리오 투자(Portfolio Investment)

● 정의

- 불확실한 경제상황속에서도 기대수익을 극대화하면서 리스크를 최소화 하기 위해 투자자산의 보유비율을 결정하는 투자

▶ 주식과 부동산으로 포트폴리오를 구성하면 주식 장이 나쁠 때도 부동산으로 이익을 실현해서, 전체자산의 증가를 가져올 수 있다.

● 포트폴리오 기대수익률

- 각 자산투자내역의 [투자비율 * 기대수익률] 의 합

▶ A회사와 B회사에 대한 분산투자로 포트폴리오를 만들었다.

A회사에 10%를 투자, 20%의 기대수익을 원한다.

B회사에 90%를 투자, 70%의 기대수익을 원한다.

기대수익률 = 10% * 20% + 90% * 70%

= 65%

즉, 원금에 대해서 65%의 수익이 날 것을 기대하는 포트폴리오이다.

● 포트폴리오 위험

- 체계적위험(systematic risk): 경제주체들에게 동일하게 작용하는 위험 요소. ex) 인구감소, 세계정세 등..

- 비체계적위험(nonsystematic risk): 증권시장 전반의 움직임에 관계 없이 특정 개별주식에 한정된 위험. ex) 근로자 파업, 소송 등..

● 공식

- w_i^² * q_i^² + w_j^² * q_j^² + 2w_i * w_j * Cov(R_i, R_j)

→ w_i : 주식 i에 대한 투자비율

→ q_i : 주식 i의 표준편차

→ Cov(R_i, R_j): 주식 i와 j의 공분산

◎ 분산: 편차의 제곱의 평균

◎ 편차: 관측값과 평균값의 차이

◎ 표준편차: 분산의 제곱근

◎ 공분산: 2개의 확률변수의 상관정도.

★ 위험은 변동성을 기준으로 수치화 할 수 있다. 주식의 값이 큰 폭으로 변화할 수록 높은 가격에 사서 낮은 가격에 팔 수 있는 위험이 증가하게 된다. 따라서 위험이 높다고 말할 수 있다. 즉, 포트폴리오 위험을 수치로 평가하기 위해선 분산의 개념이 나오게된다.

◈ 위험과 분산에 대한 예: A와 B의 성적표를 보고, 다음 한자시험을 보았을 때의, 점수를 예측한다.

A의 성적표: 국어 100점, 영어 100점, 수학 0점, 과학 0점

B의 성적표: 국어 50점, 영어 50점, 수학 50점, 과학 50점

→ A의 평균=50점, B의 평균=50점

→ A의 분산=((50-100)^2 + (50-100)^2 + (50-0)^2 + (50-0)^2) / 4 = 2500

→ B의 분산=((50-50)^2 + (50-50)^2 + (50-50)^2 + (50-50)^2) / 4 = 0

▣ 문제: 한자 시험을 본다고 가정 했을 때 40점 이상의 점수를 맞게되면 1점당 1만원을 주고, 40점 미만의 점수를 맞게되면 1점당 1만원을 잃는 도박이 있다면, A학생과 B학생 어느학생에 투자 할까?

▣ 대답: 나는 B학생에 투자할 것이다. A학생을 선택했을 때, 기대수익률은 60만원 이지만, 예상손실률은 40만원이다. B학생을 선택했을 때의 기대수익률은 10만원 이고, 예상손실률은 0원이다. 이처럼 분산을 사용하면 쉽게 위험도를 평가할 수 있다.

● 결론

- 수익률이 높은 투자는 리스크도 크다. 따라서, 포트폴리오 투자의 핵심은 개별종목 하나에 전부 투자하는 것 보다 적절히 섞어서 투자하는 것이 더 높은 수익률을 낼 수 있는 것이다.

제3과목 부동산펀드 - 04. 부동산펀드 특징

● 부동산펀드의 운용특례

- 다른 펀드와는 다르게 펀드재산으로 금전을 차입할 수 있다.

▶ 타인의 자본을 빌려서 부동산펀드를 운용할 수 있다.

※ 부동산펀드는 레버지리를 높여야 투자성이 높기 때문에 금전차입을 허용한다. 하지만 차입할 수 있는 기관을 은행, 보험회사, 다른 부동산펀드 등으로 규정해 놓았다.

※ 차입금액은 순자산의 200%까지 가능하다.

▶ 펀드규모가 100억원이 이라면 200억을 더 빌려 올 수 있다.

★ 다른 부동산펀드로 부터 차입을 할 수 있다는 말은, 부동산펀드는 돈을 빌려 줄 수도 있는 의미(대여 한도는 순자산의 100%까지 대여가능. 펀드규모가 100억원이면 100억원 몽땅 다 빌려 줄 수 있다.)

- 업무위탁 가능

▶ 돈을 모아서 부동산펀드를 설정하는 것과 부동산을 개발, 운영하는 것은 분리가 되야 한다. 따라서 개발/관리/개량/임대업무 위탁이 가능하다.

★ 취득/처분은 절대 위탁 못한다!! 집합투자업자가 직접 해야 함.

● 부동산펀드의 운용제약

★ 부동산 투자회사의 발기인은 투자회사 재산의 100분의 70을 초과하여 부동산에 투자하는 부동산투자회사를 설립하여서는 안되며, 설립 후에도 부동산투자회사의 정관을 투자회사 재산의 100분의 70을 초과하여 부동산에 투자하는 형태로 변경하여서는 안된다.

- 부동산투자합자회사: 무한책임사원 1인과 유한책임사원 1인이 기명날일 또는 서명을해서 금융위원회에 등록

- 부동산투자조합: 업무집행조합원 1인과 유한책임조합원1인이 기명날인 또는 서명. 후 금융위원회에 등록

- 부동산투자익명조합: 영업자1인과 익명조합원1인이 기명날인 서명. 금융위원회에 등록

● 부동산펀드의 설립 제약

① 원칙적으로 환매금지형펀드로 설립하도록 되어 있다.

▶ 만기 이전에는 돈을 되돌려 받을 수 없다. 하지만, 환매금지형은 유동성에 문제를 초래할 수 있기 때문에, 공모형이면서 부동산투자회사 혹은 부동산투자신탁인 경우에는 90일 이내에 증권시장에 상장해서 유동성문제를 해결한다. (부동산투자유한회사, 부동산투자합자회사 등은 상장의 의무가 없다.)

② 원칙적으로 국내 부동산은 3년 이내에 처분금지. 국외 부동산은 집합투자규약에서 정하는 기간을 따름.

③ 각 펀드의 자산총액의 100분의 10을 초과하여 동일 증권에 투자하는 행위금지.

④ 부동산투자회사는 부동산에 대한 최고투자비율을 투자회사 재산의 100분의 70을 초과하여 투자할 수 없다.

제3과목 부동산펀드 - 02. 부동산펀드 개요

집합투자(Certified Investment): 펀드를 의미한다.

★ 역사적으로 투자자들은 주식/채권에 분산투자 하였으나, 금융자산들간의 상관관계가 높아져, 금융시장이 나쁠때는 분산투자의 효과를 얻기 힘들었다. 따라서 금융시장과 상관관계가 낮은 부동산펀드가 대안으로 떠올랐다.

▶ 우리나라 증시는 미국증시에 영향을 받는 것 처럼, 주식 등의 금융자산은 전세계적으로 상관관계가 너무 높아서 부동산펀드 등의 대안투자가 떠오르게 됨.

● 자본시장법의 집합투자기구 종류

- 증권집합투자기구

- 부동산집합투자기구 (제3과목의 부동산펀드가 속하는 영역)

- 특별자산집합투자기구

- 혼합자산집합투자기구

- 단기금융집합투자기구

● 자본시장법의 부동산펀드의 종류

- 실물형 부동산펀드
- 대출형 부동산펀드(Project Financing)
- 권리형 부동산펀드
- 증권형 부동산펀드
- 파생상품형 부동산펀드
- 준부동산펀드(자본시장법에서 정의하지는 않는다.)

● 부동산집합투자기구

- 집합투자재산의 100분의 50을 초과하여 부동산에 투자하는 집합기구.

● 부동산집합투자기구의 법적형태에 따른 분류

★ 부동산투자신탁/부동산투자회사 등 ∈ 부동산집합투자기구 ∈ 집합투자기구

형태 집합투자규약 집합투자증권 설정설립주체

1. 부동산투자신탁 신탁계약, 투자신탁계약, 수익증권, 집합투자업자

2. 부동산투자회사 주식회사(상법), 정관, 주식, 발기인

3. 부동산투자유한회사 유한회사(상법), 정관 , 지분증권, 집합투자업자

4. 투자합자회사 합자회사(상법), 정관, 지분증권, 집합투자업자

5. 투자조합 조합(민법), 조합계약, 출자증권, 집합투자업자

6. 투자익명조합 익명조합(상법), 익명조합계약, 출자증권, 집합투자업자

※ 부동산투자기구 형태는 크게 3가지로 나뉜다. 신탁형(부동산투자신탁), 회사형(부동산투자회사, 부동산투자유한회사, 투자합자회사), 조합형(투자조합, 투자익명조합)

※ 신탁(trust): 재산권을 관리, 처분하게 하는 법률관계. (돈을 맡기고, 알아서 돈을 불려 달라고 하는 것)

※ 수익증권(beneficiary certificate): 재산의 운용을 타인에게 신탁한 경우 그 수익을 받는 권리가 표시된 증권.

※ 정관(articles of incorporation): 사단법인의 조직 활동을 정한 근본규칙.

※ 주식회사(corporation): 주식의 발행을 통해 자본을 조달하는 회사. 주주는 언제든 보유주식을 제3자에게 매각할 수 있다. 유한책임사원으로 구성된다.

※ 유한책임: 100만원을 투자했는데, 회사가 망하면 100만원의 책임을 지는 형태이다. 즉, 투자한 금액만큼 손실을 본다. ( 상장된 회사를 대상으로 투자를 했을 때, 투자자가 갖게 되는 책임 )

※ 무한책임: 100만원 투자했는데, 회사가 망하면 사채를 쓰던, 장기를 팔던 손해난 금액만큼 책임을 진다. ( 내가 퇴직금을 몽땅 털어서, 치킨사업을 시작했을 때, 갖게되는 책임. 치킨팔다 망하면 빚더미에 떠안게 되된다. )

※ 유한회사(private company): 소수의 유한책임사원으로 구성되는 회사. 주식회사와 유사하지만, 규모가 작고 및 법적 규제가 완화 된 특징을 갖는다.

※ 합자회사(limited partnership): 사업의 경영은 무한책임사원이 하고, 자본은 유한책임사원이 제공하는 회사.

※ 출자(contribution): 사업을 하기위한 자본.

※ 출자증권(subscription certificate): 특수 법인이(한국도로공사, 한국전력공사 등.. ) 그 법인에 출자한 사람에게 발행하는 유가 증권. 주식회사의 주권과 달리 출자자에게 경영참가권이 인정되지 않는다. 소유 및 양도를 일정한 자격을 가진자로 한정하기 때문에, 시장거래 대상으로 적합하지 않다.

※ 지분증권: 회사, 조합의 순자산에 대한 소유지분을 나타내는 유가증권.

※ 유가증권(security): 돈은 아니지만 돈으로서의 가치가 있는 증권. (ex, 어음, 수표, 주식, 채권 등..)

※ 투자조합: 정부의 창업지원기금과 일반인을 조합원으로 참여시켜 결성.

※ 익명조합(undisclosed association): 당사자의 한 편이 상대편의 영업을 위하여 출자를 하고 상대편은 그 영업에서 생기는 이익을 나누어 가질 것을 약정하는 계약.

▶ 돈 많은 사람이, 똘똘한 사람에게 사업하라고 돈을 대주는 경우. 이 경우엔 외부에서는 개인기업으로 보이지만, 내적으로는 공동기업이다. 따라서 회사에 포함되지 않는다.

제3과목 부동산펀드 - 01. 부동산개요

● 부동산

- 민법상 부동산은 토지 및 그 정착물을 말하며 부동산 이외의 물건은 동산이다. (민법 99조1항)

▶ 민법은 일반인을 대상으로 하는 법. 즉, 일반인이 주거를 위해서 부동산을 매입했을 경우에는 민법에 포함. 매매업을 업으로 하는 자가 부동산을 매입했을 경우에는 상법에 포함.

● 준(의제간주)부동산

- 공시수단을 갖추어 거래객체로 독립된 거래가 형성.인정되는 것( 입목, 공장재단, 광업권, 어업권, 선박, 광업재단, 항공기, 자동차, 건설기계 등)

▶ 성질산 부동산으로 볼 수 없으나, 그 재화의 성격이나 관리의 입장에서 볼 때, 소유권 등록이 필요한 것을 준부동산으로 정의한다. ( 컴퓨터/TV와는 다르게, 자동차/항공기/선박 등을 소유를 하게 되었을 경우, 소유권 등을 서면으로 남겨야 한다. )

※ 의제간주: 성질이 다른 것을 같은 것으로 보고 법률상 같은 효과를 주는 일

● 복합부동산

- 토지와 그 정착물과의 권리관계가 특별하게 설정되어 있거나 상호가치나 이용 등의 영향력이 복합개념의 관계에 있는 경우.

▶ 토지와 정착물이 합쳐져야만 하나의 역할을 수행하는 과수원 등...

● 등기부등본

- 표제부: 부동산의 표시와 그 소재지

- 갑구: 소유권 관련 사항 (등기원인 등)

- 을구: 소유권 이외의 사항

● 지번: 주민등록번호처럼 땅에게 고유한 번호를 부여.

● 지목: 현재 사용하는 땅의 용도에 따라서 나눈 분류.

● 지적: 땅에대한 기록 (즉, 지번과 지목을 관리하는 문서)

● 지적의 3요소: 토지/등록/지적공부 ( 외우는 방법; 토지를 지적공부에 등록한다. )

※ 지적공부: 토지에관한 사항을 공적으로 기록, 증명하는 장부

● 용도분류

- 용도지역: 토지를 효율적으로 이용하기위해 지역을 용도에 맞게 나눔. (도시지역, 관리지역 등). 용도에 맞게 나눈 지역에서 중복되게 지정되는 지역은 없다. (특정한 땅이 도시지역이면서, 관리지역인 경우는 존재하지 않는다. )

- 용도지구: 미관, 경관 등을 증진시키기 위해서 나누는 지구. ( 방화지역 등.. 특정한 땅이 도시지역이면서, 관리지역인 경우 존재한다. )

▶ 장착물의 건축가능한 용도는 건폐율과 용적률에 의해서 결정된다.

1) 건폐율: 얼마나 넓게 건물을 지을지 결정. ( 건축면적/대지면적 * 100 )

※ 건축면적: 외벽의 중심선으로 둘러싸인 부분의 수평투영면적으로 한다. 대부분 1층의 바닥면적으로 측정가능.

★ 건폐율이 낮을 수록 땅을 적게 사용하기 때문에, 가격이 비싸다.

2) 용적률: 얼마나 높게 건물을 지을지 결정. ( 지상층의 연면적/대지면적 * 100 )

※ 연면적: 각 층의 바닥면적의 합.

● 주택의 분류

▶ 건물이 한 세대의 소유이면 단독주택, 각 세대별로 소유주가 다르면 공동주택.

1) 단독주택: 단독주택, 다중주택, 다가구주택, 공관

① 단독주택

② 다중주택: 학생이나 직장인 등의 다수가 장기간 거주할 수 있는 구조의 주택으로 독립된 주거의 형태가 아니며, 연면적이 300m^2 이하이고 3층 이하인 주택

③ 다가구주택: 주택으로 쓰이는 층수가 3개 층 이하이고 주택의 바닥면적의 합계가 660m^2이하이며, 19세대 이하가 거주하는 주택으로 공동주택에 해당하지 않는 것

2) 공동주택: 아파트, 연립주택, 다세대주택, 기숙사 등

① 아파트: 주택으로 쓰이는 층수가 5개 층 이상인 주택

② 연립주택: 주택으로 쓰이는 층수가 4개 층 이하인 주택으로 바닥면적의 합계가 660m^2을 초과하는 주택

③ 다세대주택: 주택으로 쓰이는 층수가 4개층 이하인 주택으로 바닥면적(지하주차장 면적은 제외)의 합계가 660m^2이하인 주택

2) 기숙사: 학교 또는 공장 등의 학생 또는 종업원 등을 위하여 사용되는 것으로 공동취사 등을 할 수 있는 구조이되, 독립된 주거의 형태를 갖추지 아니한 것.

07. 오일러의 파이함수(Euler's Totient Function)

● 목적

- 임의의 자연수 n을 선택 했을 때, 1~n사이에 있는 수 중에서 n과 서로소인 수의 개수를 쉽게 구한다. (ex. RSA에서 사용)

● 용어정의

- ф(p): 1~p사이에 있는 수 중에서 p와 서로소인 수의 개수. (p는 양의 자연수)

● 공식

1) p가 소수일 때, ф(p^k)=p^k*(1-1/p)
2) p와 q가 서로 다른 소수 일때, ф(p*q)=ф(p)*ф(q)

2) p와 q가 서로소 일때, ф(p*q)=ф(p)*ф(q)*(d/ф(d)), 단, d=gcd(p,q)

3) m=p1^k1*p2^k2*p3^k3.... 라고 가정 할 때 ф(m)=m*(1-1/p1)*(1-1/p2)....... (단, p1,p2...는 서로 다른 소수)

● 증명 1) [ф(p^k)=p^k*(1-1/p)]

① p가 소수일 때, 1~p의 수 중에서 p와 서로소인 수의 개수는 p-1이다. 즉, ф(p) = p-1

② 1~p^k의 수 중에서 p^k와 서로소가 아닌 수는 소수p의 배수 뿐이다. (ex. 1~3^5의 수 중에서 3^5와 서로소가 아닌 수는 3, 6, 9, 12, 15 이다.)

③ 1~p^k의 수 중에서 p^k와 서로소가 아닌 수는 p, p*2, p*3, p*4... p^k이다.

④ p^k개의 수 중에서 p^k와 서로소가 아닌 수의 개수는 p^(k-1)개이다.

∵ p*1 [1개], p*2 [2개], p*3 [3개], p*4 [4개]... p*p^(k-1) [p^(k-1)개]

⑤ ф(p^k)=p^k-p^(k-1)=p^k*(1-1/p)

∴ ф(p^k)=p^k*(1-1/p)

● 증명 2) [ф(p*q)=ф(p)*ф(q)]

① 1~p*q의 수의 개수는 p*q이다.

② 1~p*q의 수 중에서 p와 서로소가 아닌 수의 개수는 q개 이다.

∵ p*1 [1개], p*2 [2개]. p*q [q개]

③ 1~p*q의 수 중에서 q와 서로소가 아닌 수의 개수는 p개 이다.

∵ q*1 [1개], q*2 [2개]. q*p [p개]

④ 1~p*q의 수 중에서 p와 q가 공통으로 갖게되는 공배수는 p*q으로 1개이다.

∵ p*q [1개]

⑤ 전체 수 에서 서로소가 아닌 수를 뺀다면, p*q-(p+q-1)=(p-1)(q-1)

⑥ p가 소수일 때, ф(p)=p-1 이었다는 것을 상기시켜보자.

⑦ ф(p*q)=(p-1)(q-1)=ф(p)ф(q)

∴ ф(p*q)=ф(p)*ф(q), (단 p와 q는 소수?????????????????????????????????????, 원래는 p와q는 서로소 여야만 한다. 하지만 p가 소수라는 가정을 하지 않으면 ф(p)=p-1 라는 가정을 사용할 수 없다. )

● 증명 3) [ф(m)=m*(1-1/p1)*(1-1/p2)....... ]

● 예제

① 36보다 작은 수 중에서 36과 서로소인 수의 개수 구하라.??????????????????

ф(36)

=ф(2^2*3^2)

=ф(2^2)*ф(3^2)

=2^2(1-1/2)*3^2(1-1/3)

=12

② ф(x)=12 를 만족하는 모든 수를 구하라.??????????????????????????????????

ф(x)=1*12

=(2-1)*(13-1)

=ф(2)*ф(13)

=ф(26)

ф(x)=2*6

=(3-1)*(7-1)

=ф(3)*ф(7)

=ф(21)

ф(x)=3*4

=(4-1)*(5-1)

=ф(4)*ф(5)

=ф(20)

ф(x)=2*2*3

=(3-1)*(3-1)*(4-1)

=ф(3)*ф(3)*ф(4)

=ф(36)

x=20, 21, 26, 36

06. 중국인의 나머지 정리

todo

05. 확장된 유클리드 알고리즘(Extended euclidean algorithm)

● 활용
- 공개키 암호화 알고리즘에서 비밀키를 알아내기 위해 사용.
- 공개키 암호화 알고리즘의 가장 어려운 부분은 큰 두 소수의 곱을 가지고, 두개의 소수를 유추해 내는 것이다.
- 즉, p*q=N 일 때, p와 q의 값을 알 때, N은 쉽게 구할 수 있다. 하지만, N을 값 만으론 p와 q를 유추해 내기 어렵다.

● RSA 공개키/비밀키 생성방법 요약
① 두 개의 서로 다른 소수 p, q 선택.
② p * q를 공용키로 선택
③ (p - 1)(q - 1)의 값과 서로 소인 임의의 정수 e를 선택해서 공개키로 사용.
④ e와 서로소인 d를 선택해서 비밀키로 사용. ed≡1 (mod (p-1)*(q-1))
∵ 확장된 유클리드 알고리즘을 사용해서 비밀키를 생성 할 수 있다.

● 정의
- ap + bq = GCD(p, q) 식에서 a와 b를 구 할 수 있다.

● 예제
① 두 개의 서로 다른 소수 p, q 선택. p = 17, q = 37
② (p - 1)(q - 1)과 서로소인 임의의 정수 e를 선택. e = 31
③ GCD((p - 1)(q - 1), 31) => GCD(576, 31)
GCD(576, 31) => 576 = 31 * 18 + 18
GCD(31, 18) => 31 = 18 * 1 + 13
GCD(18, 13) => 18 = 13 * 1 + 5
GCD(13, 5) => 13 = 5 * 2 + 3
GCD(5, 3) => 5 = 3 * 1 + 2
GCD(3, 2) => 3 = 2 * 1 + 1
=>
① 1 = 3 - 2
= 3 - (5 - 3) => 2 * 3 - 5
= 2 * ( 13 - 5 * 2 ) - 5 => 2 * ( 13 ) - 5 * 5
= 2 * 13 - 5 * ( 18 - 13 ) => -5 * ( 18 ) + 7 * 13
= -5 * 18 + 7 * ( 31 - 18 ) => 7 * 31 - 12 * ( 18 )
= 7 * 31 - 12 * ( ( 576 - (31 * 18) ) ) => -12 * 576 + 223 * 31
② -12 * 576 + 223 * 31에서 사고를 확장해 보았을 때, 223 * 31≡1(mod 576)을 알 수 있다. 576은 (p-1)(q-1)의 값.
※ 증명
ⓐ a≡r (mod p) 이면. a = p*x + r 양변에 p를 더해 준다면 => a + p = p* (x + 1) + r 로 나머지 값은 변화가 없음을 알 수 있다.
ⓑ -12 * 576은 무시할 수 있다.
③ 이제 비밀키 선택 알고리즘에서 ed≡1 (mod (p-1)*(q-1)) d의 값을 구할 수 있다. 223 * 31≡1(mod 576)
∵ 비밀키는 223

04. 유클리드 호제법(Euclidean algorithm)

● 정의
- A = BQ + R 일 때, A와B의 최대공약수, B와 R의 최대공약수는 같다.

● 증명
① gcd(A, B)를 G라고 가정한다. ( A = aG, B=bG )
② A = BQ + R에 각각의 변수를 대응 시킨다. ( aG = bGQ + R )
③ (a - bQ)G = R 로 변환이 가능하며 A, B, R 은 모두 G의 배수라고 말할 수 있다. B=bg, R=(a - bQ)G 이므로 b와 (a - bQ)가 서로소이고 B와 R의 최대공약수가 G가 된다.
※ 증명
ⓐ b와 (a - bQ)가 서로소가 아니라고 가정한다. b = dn, (a - bQ ) = dm 그리고 이 식이 거짓임을 증명함으로써 b와 (a - bQ)가 서로소임을 증명한다.
ⓑ (a - (dn)Q) = dm => (a - dnQ) = dm => a = dm + dnQ => a = d( m + nQ )
ⓒ a = d( m + nQ ), b = dn 이므로 a와 b가 d 라는 공약수를 가지게 된다. 이것은 a와 b가 서로소라는 앞의 가정에 모순이 되기 때문에 b와 (a - bQ)는 서로소라는 것이 증명된다.

● 예제
Q. GCD(206, 40)을 구하라.

A. 2

GCD(206, 40) = GCD(40, 6)
= GCD(6, 4)

= GCD(4, 2)
= GCD(2, 0)
= 2

03. 페르마 테스트(Fermat's test)

todo

02. 페르마의 소정리(Fermat's little theorem)

● 정의
- p가 소수일 때 p와 서로소인 a에 대해서 a^(p-1)≡1(mod p)가 성립한다.
- a^(p-1)≡1(mod p) → a^(p)≡a(mod p) 합동(Congruence)참조

● 증명
① A={1,2,3,4,5......(p-1)} 집합A를 정의한다.
② p가 소수이기 때문에, 집합A의 원소를 각각 p로 나눈 나머지는 모두 다르다.
③ B={1*a, 2*a, 3*a, 4*a, 5*a.......(p-1)*a} 집합B를 정의한다.
④ 집합B의 원소를 각각 p로 나눈 나머지는 모두 다르다.
※ 증명
ⓐ B의 원소 중 2개를 선택한다. (각각 a*m, a*n으로 정의한다. m≠n )
ⓑ a*m과 a*n을 p로 나눈 나머지가 같다고 가정한다. a*m≡a*n(mod p) → 가정이 맞지 않는다는 것을 증명하기 위해서
ⓒ a*m≡a*n(mod p) → (a*m) - (a*n)≡0(mod p)
Ⅰ. 합동(Congruence)에서 a≡b(mod p), c≡d(mod p)일 때, a+c≡b+d(mod p)라는 것을 증명했다.
Ⅱ. a*m≡r(mod p), a*n≡r(mod p) (ⓑ가정에 의해서 나머지가 r로 같다. )
Ⅲ. a*m+ -(a*n)≡r+ -(r)(mod p)
ⅳ. 즉, (a*m)-(a*n)≡0(mod p)가 성립한다.
ⓓ a(m*n)≡0(mod p)
ⓔ p는 a(m*n)의 배수라는 결과가 나온다. 따라서 p가 소수라는 전제에 위된다.
∵ a*m과 a*n을 p로 나눈 나머지는 같지 않다. 즉 집합B의 원소를 각각 p로 나눈 나머지는 모두 다르다.
⑤ 집합A의 원소를 p로 나눈 나머지와 집합B의 원소를 p로 나눈 나머지는 같다.
⑥ 따라서 집합A의 원소를 모두 곱한 값의 나머지와 집합B의 원소를 모두 곱한 값의 나머지는 같다.
⑦ (p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1)(mod p)
∵ a^(p-1)≡1(mod p)

● 예제
Q. 10^(6015)+10^(1203)-10^(15)-10^(k)가 2005의 배수가 될 때, k의 최소값은? (KMO)

A. k = 3

2005의 배수가 된다는 말은 401의 배수가 된다는 말로 바꿀 수 있다. ( 2005 = 15 * 401 )
6015=401*15, 1203=401*3
10^(401)≡10(mod 401)
10^(401*15))≡10^(15)(mod 401)
10^(401*3))≡10^(3)(mod 401)
∵ 10^(6015)+10^(1203)-10^(15)-10^(k) => 10^(3) - 10^(k)≡0(mod 401)

01. 합동(Congruence)

● 정의
- a,b를 m으로 나눈 나머지가 같을 때, a와 b가 m에 관하여 합동이라고 하고 a≡b(mod m)으로 나타낸다.

●modular연산
a≡b(mod m)
1. a를 m으로 나눈 나머지와 b를 m으로 나눈 나머지가 같다.
2. a = x*m + b (x는 임의의 정수)

● 합동의 기본 성질
- a≡b(mod m)이고, c≡d(mod m)라면 ( a=m*x1+r1, b=m*y1+r1, c=m*x2+r2, d=m*y2+r2 )
1. a+c≡b+d(mod m)
※ 증명
① a+c = (m*x1+r1) + (c=m*x2+r2) = m(x1+x2) + r1+r2
② b+d = (m*y1+r1) + (c=m*y2+r2) = m(y1+y2) + r1+r2
∵ a+c와 b+d는 모두 m의 배수이며, r1+r2의 값을 나머지로 갖는다.
2. a*c≡b*d(mod m)
※ 증명
위의 증명처럼 a,b,c,d에 각각 대응 되는 수식(ex, a=m*x1+r1 을 넣고 계산해보면 된다.)
3. a*n≡b*n(mod m)
※ 증명
① a*n = n(x*m + b)
② a*n = x*m*n + b*n
∵ a*n은 m의 배수이며, b*n의 값을 나머지로 갖는다.

VI

● 명령어

% Move to matching bracket: ( { [ ] } ) => 코딩 시 괄호단위로 이동할 때 유용

:c$ Beginning with the character under the cursor, => 한줄 지우고 입력 시 유용, ( =: d$i )

"a10yy Copies 10 lines into buffer a

"ap Put contents of lettered buffer a below the current line
:.,$s/old/new/g Substitutes old with new from the current cursor position to the end of the file

:map @ cwUnversity of Washington

● 팁

▶속성 저장1

$ vi ~/.profile

EXINIT='set tabstop=4 autoindent map g 1G' ; export EXINIT

▶속성 저장2

$ vi ~/.profile

EXINIT='set exrc' ; export EXINIT

$ vi ~/.exrc

set tapstop=4

autoindent

map g 1G